Diophantus, pavarde Diophantus iš Aleksandrijos, (suklestėjo apie 250 m.), Graikų matematikas, garsus savo darbais algebra.
skaičių teorija: Diophantus
Iš vėlesnių graikų matematikų ypač atkreiptinas dėmesys į Diaphantus iš Aleksandrijos (suklestėjo apie 250), autorius
Tai, kas mažai žinoma apie Diophantus gyvenimą, yra netiesioginė. Iš pavadinimo „Aleksandrija“ atrodo, kad jis dirbo pagrindiniame senovės Graikijos pasaulio mokslo centre; ir kadangi jis nėra minimas prieš IV a., panašu, kad jis suklestėjo III a. Vėlyvosios antikos laikų „Anthologia Graeca“ aritmetinis epigramas, kuriuo siekiama atsekti kai kuriuos jo gyvenimo orientyrus (santuoka 33 m., Sūnaus gimimas 38 m., Sūnaus mirtis ketveriais metais anksčiau nei jam sukako 84 metai), gali būti gerai pasmerktas. Jo vardu pasirodė du darbai, abu nebaigti. Pirmasis yra mažas daugiakampių skaičių fragmentas (skaičius yra daugiakampis, jei tą patį taškų skaičių galima išdėstyti taisyklingo daugiakampio pavidalu). Antrasis, didelis ir nepaprastai įtakingas traktatas, kuriuo remiasi visa senovinė ir šiuolaikinė Diophantus šlovė, yra jo aritmetika. Jo istorinė svarba yra dvejopa: tai yra pirmasis žinomas darbas, kuriame naudojama modernaus stiliaus algebra, ir tai paskatino skaičiaus teorijos atgimimą.
Aritmetika prasideda įžanga, skirta Dionizui - tikriausiai šv. Dionizui iš Aleksandrijos. Po kai kurių bendrųjų skaičių, Diophantus paaiškina savo simboliką - jis naudoja simbolius nežinomiems (atitinkančius mūsų x) ir jų galias, teigiamas ar neigiamas, taip pat atliekant kai kurias aritmetines operacijas - dauguma šių simbolių yra aiškiai rašybos santrumpos. Tai yra pirmasis ir vienintelis algebrinės simbolikos atvejis prieš XV a. Išmokęs padauginti nežinomų galių, Diophantus paaiškina teigiamų ir neigiamų terminų padauginimą ir tada, kaip sumažinti lygtį iki vienos, kurioje yra tik teigiami terminai (senovėje pirmenybė teikiama standartinei formai). Nepaisant šių parengiamųjų darbų, Diophantus pradeda spręsti problemas. Iš tikrųjų „Aritmetika“ iš esmės yra problemų su sprendimais rinkinys, kurio vis dar yra apie 260.
Įvade taip pat teigiama, kad darbas suskirstytas į 13 knygų. Šešios iš šių knygų XV amžiaus pabaigoje buvo žinomos Europoje, jas Bizantijos mokslininkai perdavė graikų kalba ir sunumeruodavo nuo I iki VI; kitos keturios knygos buvo atrastos 1968 m. 9-ajame arabų kalbos vertime, kurį pateikė Qusṭā ibn Lūqā. Tačiau arabiškam tekstui trūksta matematinės simbolikos ir atrodo, kad jis grindžiamas vėlesniais graikų komentarais - galbūt Hypatia (apie 370–415) -, kurie praskiedė Diophantus'o ekspoziciją. Dabar mes žinome, kad turi būti pakeista graikų knygų numeracija: taigi „Arithmetica“ sudaro I – III knygos graikų kalba, IV – VII knygos arabų kalba ir, tikėtina, VIII – X knygos graikų kalba (buvusios graikų knygos IV – VI knygos).). Tolesnis pernumeravimas mažai tikėtinas; gana aišku, kad bizantiečiai žinojo tik šešias jų perduotas knygas, o arabai - ne daugiau kaip I – VII knygos komentuojamoje versijoje.
I knygos problemos nėra būdingos, jos dažniausiai yra paprastos problemos, naudojamos algebriniam skaičiavimui iliustruoti. Skiriamieji Diophantus problemų bruožai išryškėja vėlesnėse knygose: jie yra neapibrėžti (turintys daugiau nei vieną sprendimą), yra antro laipsnio arba gali būti redukuojami iki antro laipsnio (didžiausia galia kintamomis sąlygomis yra 2, ty x 2), ir pabaiga nustatant teigiamą racionaliąją nežinomosios vertės vertę, kuri duos nurodytą algebrinę išraišką skaitmenine kvadratu ar kartais kubu. (Visoje savo knygoje Diophantus naudoja „skaičių“, kad nurodytų, kas dabar vadinami teigiamaisiais, racionaliaisiais skaičiais; taigi, kvadratinis skaičius yra tam tikro teigiamo, racionalaus skaičiaus kvadratas.) II ir III knygos taip pat moko bendrųjų metodų. Trijose II knygos problemose paaiškinta, kaip pavaizduoti: (1) bet kurį duotą kvadratinį skaičių kaip dviejų racionaliųjų skaičių kvadratų sumą; 2) bet kuris duotas kvadratas, kuris yra dviejų žinomų kvadratų suma, kaip dviejų kitų kvadratų suma; ir 3) bet kurį nurodytą racionalųjį skaičių kaip dviejų kvadratų skirtumą. Nors pirmoji ir trečioji problemos nurodomos paprastai, spėjama, kad žinant vieną antrosios problemos sprendimą, ne visi racionalieji skaičiai yra dviejų kvadratų suma. Vėliau Diophantus pateikia sveikojo skaičiaus sąlygą: nurodytame skaičiuje neturi būti jokio 4n + 3 formos pirminio koeficiento, pakelto į nelyginę galią, kur n yra neigiamas sveikasis skaičius. Tokie pavyzdžiai paskatino skaičių teorijos atgimimą. Nors Diophantus paprastai patenkintas gavęs vieną problemos sprendimą, jis kartais problemose mini, kad egzistuoja begalinis sprendimų skaičius.
IV – VII knygose Diophantus pagrindinius metodus, tokius kaip aukščiau aprašyti, išplečia aukštesnių laipsnių problemoms, kurias galima sumažinti iki pirmojo ar antrojo laipsnio binominės lygties. Šių knygų pratarmėse teigiama, kad jų tikslas yra suteikti skaitytojui „patirties ir įgūdžių“. Šis paskutinis atradimas nepadidina žinių apie Diophantus'o matematiką, tačiau tai keičia jo pedagoginių sugebėjimų vertinimą. VIII ir IX knygos (tikėtina, kad IV ir V graikų knygos) išsprendžia sudėtingesnes problemas, net jei pagrindiniai metodai išlieka tie patys. Pavyzdžiui, viena problema yra tam tikro sveikojo skaičiaus suskaidymas į dviejų savavališkai arti esančių kvadratų sumą. Panaši problema yra tam tikro sveikojo skaičiaus suskaidymas į trijų kvadratų sumą; jame Diophantus neįtraukia 8n + 7 formos sveikų skaičių neįmanomo atvejo (vėlgi, n yra neigiamas sveikasis skaičius). X knyga (spėjama, kad graikų VI knyga) nagrinėja stačiakampius trikampius, turinčius racionalias puses ir kuriems taikomos įvairios kitos sąlygos.
Trijų trūkstančių „Aritmetikos“ knygų turinį galima apibendrinti iš įvado, kur, sakydamas, kad problemos sumažinimas turėtų „jei įmanoma“ baigtis binomine lygtimi, Diophantus priduria, kad „vėliau“ išnagrinės bylą. trinominės lygties - pažadas, neįvykdytas likusioje dalyje.
Nors jo dispozicijoje buvo nedaug algebrinių įrankių, Diophantus sugebėjo išspręsti daugybę įvairių problemų, o Aithmetica įkvėpė arabų matematikus, tokius kaip al-Karajī (apie 980–1030), taikyti jo metodus. Garsiausias Diophantus kūrinio pratęsimas buvo Pierre'as de Fermat'as (1601–65), šiuolaikinės skaičių teorijos įkūrėjas. Savo „Arithmetica“ egzemplioriaus krašte Fermatas parašė įvairias pastabas, siūlydamas naujus Diophantus metodų sprendimus, pataisymus ir apibendrinimus, taip pat keletą spėlionių, pavyzdžiui, Fermato paskutinę teoremą, kuri užėmė matematikus ateinančioms kartoms. Neapibrėžtos lygtys, apimančios vientisus sprendimus, tapo žinomos, nors ir netinkamai, kaip diofantino lygtys.
