Logika ir metalogika
Vienąja prasme logika turi būti tapatinama su pirmos eilės tariamaisiais skaičiavimais, skaičiavimais, kuriuose kintamieji yra tik fiksuoto domeno individai, nors tai taip pat gali apimti tapatybės logiką, simbolizuojamą „=“, kuri laiko logikos paprastas tapatybės savybes. Šia prasme oficialų logikos skaičiavimą Gottlobas Frege'as pasiekė dar 1879 m. Tačiau kartais logika suprantama taip, kad ji apima ir aukštesnės eilės predikatinius skaičiavimus, kurie priima aukštesnių tipų kintamuosius, pavyzdžiui, tuos, kurie svyruoja virš predikatų (arba klases ir ryšius).) ir taip toliau. Bet tada tai yra mažas žingsnis į aibės teorijos įtraukimą, ir, tiesą sakant, aksiomatinė aibės teorija dažnai laikoma logikos dalimi. Tačiau šio straipsnio tikslais tikslingiau apsiriboti diskusija tik logika pirmąja prasme.
Sunku atskirti reikšmingus logikos atradimus nuo metalogikos, nes visos logikams svarbios teoremos yra apie logiką, todėl priklauso metalogikai. Jei p yra matematinė teorema, ypač viena apie logiką, o P yra matematinių aksiomų, naudojamų įrodyti p, jungtis, tada logikoje kiekviena p gali būti paversta teorema, „arba ne P, arba p“. Tačiau matematika nėra atliekama aiškiai atliekant visus veiksmus, kaip formalizuota logikoje; aksiomų parinkimas ir intuityvus suvokimas yra svarbus tiek matematikai, tiek metamatematikai. Faktiniai logikos išvedžiojimai, tokie kaip Alfredo North Whiteheado ir Bertrando Russellio prieš pat Pirmąjį pasaulinį karą įvykdyti, logikams mažai ką domina. Todėl gali būti nereikalinga įvesti terminą metalogika. Tačiau šioje klasifikacijoje metalogika suprantama kaip nagrinėjanti ne tik duomenis apie loginius skaičiavimus, bet ir formaliųjų sistemų bei formaliųjų kalbų tyrimus.
Įprasta formalioji sistema skiriasi nuo loginio skaičiavimo tuo, kad sistema paprastai turi numatytą interpretaciją, tuo tarpu loginis skaičiavimas sąmoningai palieka galimas interpretacijas atviras. Pavyzdžiui, kalbama, pavyzdžiui, apie sakinių tiesą ar klaidingumą formalioje sistemoje, tačiau, kalbant apie loginį skaičiavimą, kalbama apie pagrįstumą (ty būti teisingu visose interpretacijose ar visuose įmanomuose pasauliuose) ir apie patenkinamumą (arba turėti modelį, ty būti teisingu tam tikru aiškinimu). Taigi loginio skaičiavimo išsamumas turi visai kitokią prasmę nei formalioji sistema: loginis skaičiavimas leidžia naudoti daugybę sakinių, kad nei sakinys, nei jo neigimas nėra teorema, nes kai kuriuose aiškinimuose jis yra teisingas, o kituose klaidingas, ir reikalaujama tik, kad kiekvienas galiojantis sakinys būtų teorema.
