Diferencialinė lygtis, matematinis teiginys, kuriame yra vienas ar keli dariniai - tai yra terminai, vaizduojantys nuolat kintančių dydžių kitimo greitį. Diferencialinės lygtys yra labai paplitusios mokslo ir inžinerijos srityse, taip pat daugelyje kitų kiekybinių tyrimų sričių, nes sistemas, kuriose vyksta pokyčiai, galima tiesiogiai stebėti ir išmatuoti, yra jų pokyčių greitis. Diferencialinės lygties sprendimas yra lygtis, išreiškianti vieno kintamojo funkcinę priklausomybę nuo vieno ar daugiau kitų; paprastai joje yra pastovūs terminai, kurių nėra pradinėje diferencialinėje lygtyje. Kitas būdas tai pasakyti yra tas, kad diferencialinės lygties sprendimas sukuria funkciją, kurią galima panaudoti numatant pradinės sistemos elgseną, bent jau laikantis tam tikrų apribojimų.
analizė: Niutonas ir diferencialinės lygtys
analizės taikymas yra diferencialinės lygtys, kurios susieja įvairių dydžių kitimo greitį su jų dabartinėmis vertėmis,
Diferencialinės lygtys yra suskirstytos į keletą plačių kategorijų, kurios savo ruožtu dar yra suskirstytos į daugelį pakategorių. Svarbiausios kategorijos yra paprastosios diferencialinės lygtys ir dalinės diferencialinės lygtys. Kai lygtyje dalyvaujanti funkcija priklauso tik nuo vieno kintamojo, jos dariniai yra paprasti dariniai, o diferencialinė lygtis klasifikuojama kaip įprasta diferencialinė lygtis. Kita vertus, jei funkcija priklauso nuo kelių nepriklausomų kintamųjų, taigi jos dariniai yra daliniai dariniai, diferencialinė lygtis klasifikuojama kaip dalinė diferencialinė lygtis. Čia pateikiami paprastų diferencialinių lygčių pavyzdžiai:
Jose y reiškia funkciją, o t arba x yra nepriklausomas kintamasis. Simboliai k ir m yra naudojami žymint konkrečias konstantas.
Nepriklausomai nuo tipo, diferencialinė lygtis yra n-tosios eilės, jei ji apima n-osios eilės darinį, bet nėra aukštesnės eilės nei šios išvestinės. Lygtis yra antros eilės dalinės diferencialinės lygties pavyzdys. Paprastųjų ir dalinių diferencialinių lygčių teorijos yra labai skirtingos, ir dėl šios priežasties abi kategorijos yra traktuojamos atskirai.
Vietoj vienos diferencialinės lygties tyrimo objektas gali būti vienalaikė tokių lygčių sistema. Formuojant dinamikos dėsnius, dažnai atsiranda tokios sistemos. Daugeliu atvejų vieną n-osios eilės diferencialinę lygtį galima pakeisti n vienalaikių lygčių sistema, iš kurių kiekviena yra pirmosios eilės, kad būtų galima pritaikyti tiesinės algebros metodus.
Įprasta diferencialinė lygtis, kurioje, pavyzdžiui, funkcija ir nepriklausomas kintamasis žymimi y ir x, iš tikrųjų yra netiesioginė pagrindinių y, kaip x funkcijos, charakteristikų santrauka. Manoma, kad šios charakteristikos būtų lengviau prieinamos analizei, jei būtų galima sudaryti aiškią formulę y. Tokia formulė arba bent jau lygtis x ir y (kurioje nėra išvestinių), kuri yra išskaičiuojama iš diferencialinės lygties, vadinama diferencialinės lygties sprendiniu. Sprendimo išvesties iš lygties, naudojant algebrą ir skaičiavimą, procesas vadinamas lygties išsprendimu arba integravimu. Tačiau reikia pažymėti, kad diferencialinės lygtys, kurias galima aiškiai išspręsti, yra tik nedidelė mažuma. Taigi dauguma funkcijų turi būti tiriamos netiesioginiais metodais. Net ir jo egzistavimas turi būti įrodytas, kai nėra galimybės jo pagaminti patikrinimui. Praktiškai, norint gauti naudingus apytikslius sprendimus, naudojami skaitmeninės analizės metodai, įtraukiant kompiuterius.
