Chioso Hipokratas (pl. 460 bc) parodė, kad mėnulio formos sritys tarp apskrito lankų, vadinamos liūnomis, gali būti išreikštos tiksliai tiesine linija arba kvadratu. Toliau pateiktu paprastu atveju aplink dešiniojo trikampio šonus išsivysčiusių dviejų plaučių bendras plotas lygus trikampio plotui.
-
Pradedant dešiniąja ΔABC, nubrėžkite apskritimą, kurio skersmuo sutampa su AB (c pusė), hipotenuzė. Kadangi bet koks stačiakampis, kurio apskritimas yra hipotenuzės skersmens, turi būti įrašytas apskritime, C turi būti ant apskritimo.
-
Nubrėžkite puslankius, kurių skersmuo AC (b pusė) ir BC (a pusė), kaip parodyta paveikslėlyje.
-
Pažymėkite gautas L 1 ir L 2 liutes ir gautus segmentus S 1 ir S 2, kaip parodyta paveikslėlyje.
-
Dabar liūtų (L 1 ir L 2) suma turi būti lygi puslankiu (L 1 + S 1 ir L 2 + S 2), turinčių juos, sumai atėmus du segmentus (S 1 ir S 2). Taigi L 1 + L 2 = π / 2 (b / 2) 2 - S 1 + π / 2 (a / 2) 2 - S 2 (nes apskritimo plotas yra π kartus didesnis už spindulio kvadratą).
-
Segmentų (S 1 ir S 2) suma lygi puslankio plotui, remiantis AB, atėmus trikampio plotą. Taigi S 1 + S 2 = π / 2 (c / 2) 2 - ΔABC.
-
5 išraišką 5 žingsnyje pakeisdami 4 žingsniu ir išskirdami bendruosius terminus, L 1 + L 2 = π / 8 (a 2 + b 2 - c 2) + ΔABC.
-
Kadangi ∠ACB = 90 °, a 2 + b 2 - c 2 = 0, remiantis Pitagoro teorema. Taigi L 1 + L 2 = ΔABC.
Hipokratas sugebėjo iškirpti kelių rūšių liūnas, kai kurios - didesniuose ar mažesniuose nei puslankiu lankai, ir jis, nors ir netikėjęs, įtarė, kad jo metodas gali apjuosti visą apskritimą. Pasibaigus klasikiniam amžiui, Boethius (c. Ad. 470–524), kurio lotyniški Euklido fragmentų vertimai išlaikytų pusę tūkstantmečio mirgančią geometrijos šviesą, užsiminė, kad kažkas įvykdė apskritimą. Ar nežinomas genijus naudojo liūnas, ar koks nors kitas metodas, nežinoma, nes dėl vietos trūkumo Boethijus demonstracijos nedavė. Taigi jis perdavė apskritimo kvadraturavimo iššūkį kartu su geometrijos fragmentais, kurie, matyt, naudingi jį atliekant. Europiečiai nesėkmingai vykdė užduotį ir nušviesti. Galiausiai, 1775 m., Paryžiaus mokslų akademija, pavargusi nuo užduoties išsiaiškinti klaidingumą pateiktuose daugybėje sprendimų, atsisakė daugiau nieko bendra su apskritimo kvadratais.
