Riemann'o hipotezė skaičių teorijoje - vokiečių matematiko Bernhardo Riemann'o hipotezė dėl Riemann zeta funkcijos sprendimų, kurie yra sujungti su pradinio skaičiaus teorema ir turi svarbių reikšmių pirminių skaičių pasiskirstymui, sprendimų vietos. Riemann įtraukė hipotezę į dokumentą „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse“ („Dėl pagrindinių skaičių, mažesnių už nurodytą kiekį“), paskelbtą 1859 m. Lapkričio mėn. Leidinyje „Monatsberichte der Berliner Akademie“ („Mėnesio apžvalga“). iš Berlyno akademijos “).
„Zeta“ funkcija yra apibrėžiama kaip begalinė eilutė ζ (s) = 1 + 2 −s + 3 −s + 4 −s + ⋯ arba, kompaktiškesniame žymėjime, , kur n reikšmių sumavimas (Σ) eina nuo 1 iki begalybės per teigiamuosius skaičius, o s yra fiksuotasis teigiamas sveikasis skaičius, didesnis nei 1. Zeta funkciją pirmą kartą tyrė šveicarų matematikas Leonhardas Euleris XVIII a. (Dėl šios priežasties ji kartais vadinama „Euler zeta“ funkcija. Ζ (1) atveju ši serija yra tiesiog harmoninė seka, žinoma, nuo antikos laikų ji didėja be ribojimų, ty jos suma yra begalinė.) Euleris pelnė tiesioginę šlovę, kai jis įrodė, 1735, kad ζ (2) = π 2 /6 problema, kad buvo vengiama didžiausią matematikai eros, įskaitant Šveicarijos Bernoulli šeimos (Jakob, Johann ir Daniel). Apskritai, Euleris atrado (1739) ryšį tarp net sveikųjų skaičių Zeta funkcijos vertės ir Bernelių skaičiaus, kurie yra Tayloro serijos x / (e x - 1) išplėtimo koeficientai. (Žr. Taip pat eksponentinę funkciją.) Dar labiau stebina, kad 1737 m. Euleris atrado formulę, susijusią su „Zeta“ funkcija, apimančią begalinę terminų seką, kurioje yra teigiami sveikieji skaičiai, ir begalinį sandaugą, apimančią kiekvieną pirminį skaičių:
Riemann išplėtė zeta funkcijos tyrimą, įtraukdamas kompleksinius skaičius x + iy, kur i = kvadratinė šaknis √ − 1, išskyrus tiesę x = 1 sudėtingoje plokštumoje. Riemann žinojo, kad zeta funkcija lygi nuliui visiems neigiamiems sveikiesiems skaičiams −2, −4, −6,
(vadinamieji trivialūs nuliai) ir kad kritinių sudėtingų skaičių juostelėje yra begalinis skaičius nulių, esančių griežtai tarp linijų x = 0 ir x = 1. Jis taip pat žinojo, kad visi netrivialūs nuliai yra simetriški kritinė linija x = 1 / 2. Riemann'as manė, kad visi netradiciniai nuliai yra ties kritine linija - spėlionė, kuri vėliau tapo žinoma kaip Riemann'o hipotezė.
1914 Anglų matematikas Godfrey Haroldas Hardy įrodyta, kad begalinė skaičius sprendimų Š-(S) = 0 kalba kritinės linija x = 1 / 2. Vėliau įvairūs matematikai parodė, kad didelė dalis sprendimų turi būti kritinėje linijoje, nors dažni „įrodymai“, kad visi netriivialūs sprendimai yra klaidingi. Kompiuteriai taip pat buvo naudojami tiriant sprendimus, kai buvo parodyta, kad pirmieji 10 trilijonų netrivialių sprendimų guli ant kritinės linijos.
Riemann hipotezės įrodymas turėtų tolimų padarinių skaičių teorijai ir primų naudojimui kriptografijoje.
Riemann'o hipotezė ilgą laiką buvo laikoma didžiausia neišspręsta matematikos problema. Tai buvo viena iš 10 neišspręstų matematikos problemų (23 spausdintame laiške), kurią kaip iššūkį XX amžiaus matematikams pateikė vokiečių matematikas Davidas Hilbertas antrajame tarptautiniame matematikos kongrese Paryžiuje 1900 m. Rugpjūčio 8 d. 2000 m. 2000 m. Amerikos matematikas Stephenas Smale atnaujino Hilberto idėją, pateikdama svarbių XXI amžiaus problemų sąrašą; Riemann hipotezė buvo pirmoji. 2000 m. Ji buvo paskirta Tūkstantmečio problema, viena iš septynių matematinių problemų, kurią specialiajam apdovanojimui pasirinko Kembridžo Molio matematikos institutas, Masačusetsas, JAV. Kiekvienos Tūkstantmečio problemos sprendimas yra vertas 1 milijono dolerių. 2008 m. JAV gynybos pažangiųjų tyrimų projektų agentūra (DARPA) paskelbė ją kaip vieną iš DARPA matematinių iššūkių, 23 matematinių problemų, kurioms buvo prašoma mokslinių tyrimų pasiūlymų dėl finansavimo - „Matematinis iššūkis devyniolika: išspręskite Riemann hipotezę. Šventasis skaičių teorijos Gralis. “
