Riemann zeta funkcija, funkcija, naudinga skaičių teorijoje pradinių skaičių savybėms tirti. Parašytas kaip ζ (x), iš pradžių buvo apibrėžtas kaip begalinė eilutėζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Kai x = 1, ši eilutė vadinama harmonine eilute, kuri didėja be ribojimo, ty jos suma yra begalinė. Jei x vertės yra didesnės nei 1, eilutė pridedama prie baigtinio skaičiaus, nes pridedami vienas po kito einantys terminai. Jei x yra mažesnis nei 1, suma vėl yra begalinė. Zeta funkciją 1737 m. Žinojo šveicarų matematikas Leonhardas Euleris, tačiau pirmiausia ją išsamiai ištyrė vokiečių matematikas Bernhardas Riemannas.
1859 m. Riemann paskelbė dokumentą, kuriame pateikia aiškią pirminių skaičių skaičiaus formulę iki bet kurios iš anksto nustatytos ribos - nuspręsta patobulinti apytikslę reikšmę, nurodytą pirminio skaičiaus teorema. Tačiau Riemann'o formulė priklausė nuo žinojimo, kokiomis vertėmis apibendrinta Zeta funkcijos versija lygi nuliui. (Riemann zeta funkcija yra apibrėžta visiems sudėtiniams skaičiams - formos skaičiams x + iy, kur i = √ 1 –1 kvadratinė šaknis - išskyrus tiesę x = 1.) Riemann žinojo, kad funkcija lygi nuliui visiems neigiamiems lygiams. sveikieji skaičiai −2, −4, −6,
(vadinamieji trivialūs nuliai) ir kad jame yra begalinis skaičius nulių kritinių sudėtingų skaičių juostoje tarp linijų x = 0 ir x = 1, be to, jis taip pat žinojo, kad visi netrivialūs nuliai yra simetriški kritinių atžvilgiu. linija x = 1 / 2. Riemann'as manė, kad visi netradiciniai nuliai yra ties kritine linija - spėlionė, kuri vėliau tapo žinoma kaip Riemann'o hipotezė.
1900 m. Vokiečių matematikas Davidas Hilbertas pavadino Riemann'o hipotezę vienu iš svarbiausių visos matematikos klausimų, kaip rodo jos įtraukimas į savo įtakingų 23 neišspręstų problemų, su kuriomis jis metė iššūkį XX amžiaus matematikams, sąrašą. 1915 m. Anglų matematikas Godfrey Hardy įrodė, kad kritinėje linijoje pasitaiko begalinis skaičius nulių, o iki 1986 m. Visi kritiški linijai buvo nustatyti 1 500 000 001 netrivialūs nuliai. Nors hipotezė vis dar gali pasirodyti klaidinga, šios sunkios problemos tyrimai sustiprino supratimą apie sudėtingus skaičius.
