Tensorių analizė, matematikos šaka, susijusi su santykiais ar įstatymais, kurie galioja nepriklausomai nuo koordinačių sistemos, naudojamos kiekiams nurodyti. Tokie santykiai vadinami kovariantais. Jutikliai buvo išrasti kaip vektorių pratęsimas, kad formalizuotų geometrinių objektų, atsirandančių tiriant matematinius kolektorius, manipuliavimą.
Vektorius yra subjektas, turintis ir dydį, ir kryptį; jis yra vaizduojamas rodyklės brėžiniu ir pagal paralelogramos dėsnį derinamas su panašiais elementais. Dėl šio dėsnio vektorius turi komponentus - skirtingą kiekvienos koordinačių sistemos rinkinį. Kai keičiama koordinačių sistema, vektoriaus komponentai keičiasi pagal matematinį transformacijos dėsnį, išskaitomą iš paralelės diagramos. Šis komponentų virsmo dėsnis turi dvi svarbias savybes. Pirma, atlikus pakeitimų seką, kuri baigiasi pradine koordinačių sistema, vektoriaus komponentai bus tokie patys kaip pradžioje. Antra, ryšiai tarp vektorių, pavyzdžiui, trijų vektorių U, V, W taip, kad 2U + 5V = 4W - bus komponentuose, nepaisant koordinačių sistemos.
Todėl vektorius gali būti laikomas subjektu, kuris n matmenų erdvėje turi n komponentų, kurie transformuojasi pagal tam tikrą virsmo dėsnį, turintį aukščiau išvardytas savybes. Pats vektorius yra objektyvus darinys, nepriklausomas nuo koordinačių, tačiau jis traktuojamas kaip komponentai, kai visos koordinačių sistemos yra lygios.
Nereikalaudamas vaizdinio vaizdo, tensorius yra apibrėžiamas kaip objektyvus subjektas, turintis komponentų, kurie keičiasi pagal transformacijos dėsnį, kuris yra vektorinės transformacijos dėsnio apibendrinimas, tačiau kuris išlaiko dvi pagrindines to dėsnio savybes. Patogumui koordinatės paprastai yra sunumeruotos nuo 1 iki n, o kiekvienas tensoro komponentas žymimas raide, turinčia viršutinius ir poraščius, kurių kiekviena nepriklausomai įgyja reikšmes nuo 1 iki n. Taigi, tensorius, kurį atstovauja komponentai T ab c, turėtų n 3 komponentus, nes a, b ir c vertės būtų nuo 1 iki n. Skaliarai ir vektoriai yra specialūs įtampų atvejai: pirmieji turi tik vieną komponentą kiekvienoje koordinačių sistemoje, o antrieji turi n. Bet koks tiesinis santykis tarp tenzoro komponentų, tokių kaip7R a bcd + 2S a bcd - 3T a bcd = 0, jei galioja vienoje koordinačių sistemoje, galioja visose ir todėl parodo santykį, kuris yra objektyvus ir nepriklausomas nuo koordinačių sistemų, nepaisant trūksta vaizdinio atvaizdo.
Dviejų jutiklių, vadinamų metriniu ir kreiviniu tenzoru, susidomėjimas yra ypatingas. Metrinis tenzorius naudojamas, pavyzdžiui, vektorių komponentus paverčiant vektorių dydžiu. Paprastumo dėlei apsvarstykite dvimatį atvejį su paprastomis statmenomis koordinatėmis. Tegul vektorius V turi komponentus V 1, V 2. Tada pagal Pitagoro teoremą, pritaikytą dešiniajam trikampiui OAP, V dydžio kvadratas pateikiamas:OP 2 = (V 1) 2 + (V 2) 2.
Paslėptas šioje lygtyje yra metrinis tenzorius. Jis paslėptas, nes čia yra 0 ir 1, kurie neįrašyti. Jei lygtis perrašoma formaOP 2 = 1 (V 1) 2 + 0V 1 V 2 + 0V 2 V 1 + 1 (V 2) 2, matomas visas metrinio tensoro komponentų rinkinys (1, 0, 0, 1). Jei naudojamos įstrižos koordinatės, OP 2 formulė yra bendresnė:OP 2 = g 11 (V 1) 2 + g 12 V 1 V 2 + g 21 V 2 V 1 + g 22 (V 2) 2, kiekiai g 11, g 12, g 21, g 22 yra nauji metrinio tenzoriaus komponentai.
Iš metrinio tenzoro galima sukonstruoti sudėtingą tensorių, vadinamą kreivumo tenzoru, kuris parodo įvairius n-matmenų erdvės, kuriai jis priklauso, vidinio kreivumo aspektus.
Jutikliai turi daugybę pritaikymų geometrijoje ir fizikoje. Kurdamas savo bendrąją reliatyvumo teoriją, Albertas Einšteinas teigė, kad fizikos dėsniai turi būti vienodi, nesvarbu, kokia koordinačių sistema naudojama. Tai paskatino jį tuos įstatymus išreikšti tenzorių lygtimis. Iš jo specialiosios reliatyvumo teorijos jau buvo žinoma, kad laikas ir erdvė yra taip glaudžiai susiję, kad sudaro nedalomą keturių dimensijų erdvės-laiką. Einšteinas postulavo, kad gravitacija turėtų būti vaizduojama tik atsižvelgiant į keturių dimensijų erdvės laiko metrinį tenzorį. Norėdami išreikšti reliatyvistinį gravitacijos dėsnį, jis turėjo kaip pagrindinį elementą metrinį tenzorį ir iš jo sudarytą kreivės tenzoną. Kai jis apsisprendė apsiriboti vien šiais statybiniais elementais, jų menkas menkumas lėmė iš esmės unikalią gravitacijos dėsnio lygtį, kurioje gravitacija atsirado ne kaip jėga, o kaip erdvės-laiko kreivės apraiška.
Nors sensoriai buvo tiriami anksčiau, būtent Einšteino bendrosios reliatyvumo teorijos sėkmė paskatino dabartinį platų matematikų ir fizikų susidomėjimą įtampomis ir jų taikymu.
