Matematikos pagrindai

Kategorijų teorija

Matematikos abstrakcija

Viena naujausių matematikos raidos tendencijų buvo laipsniškas abstrakcijos procesas. Norvegų matematikas Niels Henrik Abel (1802–29) įrodė, kad penktosios laipsnio lygčių apskritai negali išspręsti radikalai. Prancūzų matematikas Évariste Galois (1811–32), motyvuotas iš dalies Abelio darbu, pristatė tam tikras permutacijų grupes, kad nustatytų būtinas polinomos lygties išsprendimo sąlygas. Šios konkrečios grupės netrukus sukūrė abstrakčias grupes, kurios buvo apibūdintos aksiomatiškai. Tada buvo suprantama, kad tiriant grupes reikia pažvelgti į skirtingų grupių ryšį, ypač į homomorfizmus, kurie apibūdina vieną grupę kitoje, išsaugant grupės operacijas. Taigi žmonės pradėjo tyrinėti tai, kas dabar vadinama konkrečia grupių grupe, kurios objektai yra grupės ir kurių strėlės yra homomorfizmai. Netruko ilgai, kai konkrečios kategorijos buvo pakeistos abstrakčiomis kategorijomis, kurios vėl buvo apibūdintos aksiomatiškai.

Svarbią kategorijos idėją Antrojo pasaulinio karo pabaigoje pristatė Samuelis Eilenbergas ir Saundersas Mac Lane'as. Šias modernias kategorijas reikia atskirti nuo Aristotelio kategorijų, kurios dabartiniame kontekste geriau vadinamos tipais. Kategorijoje yra ne tik objektai, bet ir rodyklės (taip pat vadinamos morfizmais, transformacijomis ar žemėlapiais) tarp jų.

Daugelyje kategorijų yra objektų rinkinių, turinčių tam tikrą struktūrą ir rodykles, kurios išsaugo šią struktūrą. Taigi egzistuoja aibių (su tuščia struktūra) ir atvaizdų, grupių ir grupių homomorfizmų, žiedų ir žiedų homomorfizmų, vektorinių erdvių ir linijinių transformacijų, topologinių erdvių ir nenutrūkstamų žemėlapių kategorijų ir tt kategorijos. Dar abstrakčiau egzistuoja (mažų) kategorijų ir veikėjų kategorija, nes vadinami morfizmai tarp kategorijų, kurie išsaugo ryšius tarp objektų ir strėlių.

Ne visos kategorijos gali būti vertinamos tokiu konkrečiu būdu. Pvz., Dedukcinės sistemos formules galima laikyti kategorijos objektais, kurių strėlės f: A → B yra B atskaitymai iš A. Tiesą sakant, šis požiūris yra svarbus teorinėje informatikoje, kur formulės galvojamos apie kaip tipai ir dedukcijos kaip operacijos.

Formaliau, kategoriją sudaro (1) objektų A, B, C,…, (2) kiekvienai užsakytai objektų porai kolekcijoje - susijusi transformacijų kolekcija, apimanti tapatumą I _A ∶ A → A, ir (3) susietą kompozicijos dėsnį kiekvienam užsakytam trigubam objektų kategorijai, kad f ∶ A → B ir g ∶ B → C kompozicija gf (arba g ○ f) yra transformacija iš A į C, ty gf ∶ A → C. Be to, reikalingas asociatyvinis įstatymas ir tapatybės (kur kompozicijos yra apibrėžta) -ie, h (gF) = (Hg) F ir 1 _B f = F = F1.

Tam tikra prasme abstrakčios kategorijos objektai neturi langų, kaip Leibnizo vienuoliai. Norėdami padaryti išvadą apie objekto vidų, reikia žiūrėti tik į visas strėles iš kitų objektų į A. Pvz., Rinkinių kategorijoje rinkinio A elementus galima pavaizduoti rodyklėmis iš tipiško vieno elemento, nustatyto į A.. be to, mažų kategorijas kategorijos, jei 1 yra laipsnio su vienu objektu ir be nonidentity rodyklėmis, A kategorijos objektus A gali būti identifikuojami pagal functors 1 → A. Be to, jei 2 yra kategorija su dviejų objektų ir vienas nonidentity rodykle, strėlių A gali būti identifikuojami pagal functors 2 → A.

Izomorfinės struktūros

Rodyklė f: A → B yra vadinamas isomorphism, jei yra rodyklė g: B → atvirkštinė į f-tai yra, pavyzdžiui, kad g ○ f = 1 ir f ○ g = 1 _B. Tai parašyta A ≅ B, o A ir B vadinami izomorfiniais, reiškiančiais, kad jie iš esmės turi tą pačią struktūrą ir nereikia jų atskirti. Kadangi matematiniai subjektai yra kategorijų objektai, jiems priskiriama tik izomorfizmas. Jų tradicinės teorinės struktūros, be naudingo tikslo parodyti nuoseklumą, yra tikrai nesvarbios.

Pvz., Įprastoje sveikųjų skaičių žiedo konstrukcijoje sveikas skaičius yra apibrėžiamas kaip natūraliųjų skaičių porų (m, n) ekvivalentiškumo klasė, kur (m, n) yra lygus (m ′, n ′), jei ir tik jei m + n ′ = m ′ + n. Idėja yra ta, kad ekvivalentiškumo klasė (m, n) turi būti vertinama kaip m - n. Tačiau kategoristui svarbu, kad sveikųjų skaičių žiedas ℤ yra pradinis objektas žiedų ir homomorfizmų kategorijoje, tai yra, kad kiekviename žiede ℝ yra unikalus homomorfizmas ℤ → ℝ. Tokiu būdu ℤ suteikiama tik izomorfizmui. Ta pačia dvasia reikėtų pasakyti ne apie tai, kad ℤ yra racionaliųjų skaičių lauke, bet tik apie tai, kad homomorfizmas ℤ → ℚ yra vienas su kitu. Taip pat nėra prasmės kalbėti apie π – π ir kvadrato šaknų √ – 1 aibės teorinę sankirtą, jei jos abi yra išreikštos aibių aibių rinkiniais (ad infinitum).

Ypatingą susidomėjimą fondais ir kitur turi gretimi funktoriai (F, G). Tai yra dviejų kategorijų ? ir ℬ kategorijų funktorių poros, einančios priešingomis kryptimis taip, kad egzistuoja vienas su kitu atitikimas tarp strėlių F (A) → B ℬ ir strėlių rinkinio A → G (B).) in - tai yra, kad rinkiniai būtų izomorfiniai.