Permutacijos ir deriniai, įvairūs būdai, kaip iš rinkinio esančius objektus galima pasirinkti, paprastai nekeičiant, kad sudarytų pogrupius. Šis pogrupių pasirinkimas vadinamas permutacija, kai pasirinkimo tvarka yra faktorius, deriniu, kai užsakymas nėra faktorius. Atsižvelgdami į norimų pogrupių skaičiaus santykį su visų galimų pogrupių skaičiumi daugelyje azartinių žaidimų XVII amžiuje, prancūzų matematikai Blaise'as Pascalis ir Pierre'as de Fermatas davė impulsą kombinatorikos ir tikimybių teorijos plėtrai.
kombinatorika: Binominiai koeficientai
n objektai yra vadinami n daiktų, paimtų r vienu metu, permutacija. Permutacijų skaičius yra
Permutacijų ir derinių sąvokos ir skirtumai gali būti iliustruojami nagrinėjant visus skirtingus būdus, kaip objektų porą galima pasirinkti iš penkių skiriamųjų objektų, tokių kaip raidės A, B, C, D ir E. Jei abu atsižvelgiant į pasirinktas raides ir atrankos tvarką, galimi šie 20 rezultatų:
Kiekvienas iš šių 20 skirtingų galimų pasirinkimų vadinamas permutacija. Visų pirma, jie yra vadinami penkių objektų permutacijomis, padarytais dviem vienu metu, o tokių galimų permutacijų skaičius žymimas simboliu 5 P 2, skaitomas „5 permutas 2“. Apskritai, jei yra n objektų, iš kurių galima pasirinkti, ir permutacijos (P) turi būti suformuotos naudojant objektų k vienu metu, skirtingų įmanomų permutacijų skaičius žymimas simboliu n P k. Jo įvertinimo formulė yra n P k = n! / (N - k)! Išraiška n! - skaityti „n faktorinė“ reiškia, kad visi iš eilės einantys teigiami sveikieji skaičiai nuo 1 iki n ir imtinai turi būti padauginti iš vieneto, ir 0! yra apibrėžta kaip lygi 1. Pavyzdžiui, naudojant šią formulę, penkių objektų, paimtų iš dviejų vienu metu, permutacijų skaičius yra
(K = n, n P k = n! Taigi 5 objektams yra 5! = 120 išdėstymų.)
Deriniams k objektai pasirenkami iš n objektų rinkinio, kad būtų galima sukurti pogrupius be užsakymo. Priešingai nei ankstesnis permutacijos pavyzdys su atitinkamu deriniu, AB ir BA pogrupiai nebėra skirtingi pasirinkimai; pašalinant tokius atvejus, lieka tik 10 skirtingų galimų pogrupių - AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE ir DE.
Tokių pogrupių skaičius žymimas n C k, skaitykite „n pasirinkti k“. Deriniams, nes k objektai turi k! susitarimai, yra k! neatskiriamos permutacijos kiekvienam pasirinktam k objektui; taigi permutacijos formulę reikia padalyti iš k! gaunama ši derinio formulė:
Tai yra tas pats kaip (n, k) binominis koeficientas (žr. Binominę teoremą). Pavyzdžiui, penkių objektų, paimtų į du kartu, skaičius yra
Už formules N P k ir n C k yra vadinamas skaičiavimo formules, nes jie gali būti naudojami skaičiuoti galimų kombinacijų ar derinių tam tikroje situacijoje skaičių be juos visus išvardinti.
