Euklido geometrija
Jei atsižvelgsime į Euklido geometriją, aiškiai pastebėsime, kad ji nurodo įstatymus, reglamentuojančius standžių kūnų padėtis. Tai paaiškina išradinga mintimi atsekti visus santykius su kūnais ir jų santykine padėtimi iki labai paprastos sąvokos „atstumas“ (Strecke). Atstumas reiškia standų kūną, ant kurio buvo nurodyti du medžiagos taškai (žymės). Atstumų (ir kampų) lygybės sąvoka reiškia eksperimentus, susijusius su sutapimais; tos pačios pastabos galioja ir kongruencijos teoremoms. Dabar Euklido geometrijoje tokia forma, kokia ji mums buvo pateikta iš Euklido, vartojamos pagrindinės sąvokos „tiesė“ ir „plokštuma“, kurios, atrodo, neatitinka ar bet kokiu atveju ne taip tiesiogiai, su patirtimi. dėl standžių kūnų padėties. Šiuo atžvilgiu reikia pažymėti, kad tiesios linijos sąvoka gali būti sumažinta iki atstumo.1 Be to, geometrikams buvo mažiau rūpi parodyti savo pagrindinių sąvokų santykį su patirtimi, o ne logiškai išskaityti geometrinius teiginius iš kelių pradžioje išsakytų aksiomų.
Trumpai apibūdinkime, kaip galbūt Euklido geometrija gali būti pagrįsta atstumo sąvoka.
Mes pradedame nuo atstumų lygybės (atstumų lygybės aksioma). Tarkime, kad iš dviejų nevienodų atstumų vienas visada yra didesnis už kitą. Tos pačios aksiomos turi laikytis ir atstumų nelygybės, kaip ir skaičių nelygybės.
Trys atstumai AB 1, BC 1, CA 1, jei CA 1 yra tinkamai pasirinktas, gali būti, kad jų žymės BB 1, CC 1, AA 1 būtų išdėstytos viena ant kitos taip, kad susidarytų trikampis ABC. CA 1 atstumas turi viršutinę ribą, kurią ši konstrukcija vis dar įmanoma. Tada taškai A, (BB ') ir C yra tiesia linija (apibrėžimas). Tai veda prie sąvokų: sukuria atstumą, lygų sau; padalijant atstumą į lygias dalis; atstumą išreiškiant skaičiumi matavimo lazdele (tarpo intervalo tarp dviejų taškų apibrėžimas).
Kai tokiu būdu gaunama intervalo tarp dviejų taškų arba atstumo ilgio samprata, mums reikia tik šios aksiomos (Pitagoro teoremos), kad analitiškai gautume Euklido geometriją.
Kiekvienam tarpo taškui (atskaitos kūnui) gali būti priskirti trys skaičiai (koordinatės) x, y, z ir atvirkščiai - taip, kad kiekvienai taškų porai A (x 1, y 1, z 1) ir B (x 2, y 2, z 2) teorema turi:
matavimo numeris AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Tada visos kitos euklidinės geometrijos sampratos ir teiginiai gali būti pagrįsti vien tik logiškai, ypač teiginiai apie tiesę ir plokštumą.
Šios pastabos, be abejo, nėra skirtos pakeisti griežtai aksiomatinę Euklido geometrijos struktūrą. Mes tik norime patikimai nurodyti, kaip visos geometrijos sampratos gali būti atsietos nuo atstumo. Galbūt lygiai taip pat gerai apibūdinome visą Euklido geometrijos pagrindą paskutinėje aukščiau pateiktoje teoremoje. Tada santykis su patirties pagrindais būtų pateiktas naudojant papildomą teoremą.
Koordinatę galima ir reikia pasirinkti taip, kad dvi taškų poros, atskirtos vienodais intervalais, apskaičiuotomis remiantis Pitagoro teorema, galėtų sutapti su vienu ir tuo pačiu tinkamai pasirinktu atstumu (vientisoje vietoje).
Euklido geometrijos sąvokos ir teiginiai gali būti kildinami iš Pitagoro teiginio neįvedant standžių kūnų; tačiau šios sąvokos ir pasiūlymai neturėtų turinio, kurį būtų galima išbandyti. Tai nėra „teisingi“ teiginiai, o tik logiškai teisingi grynai formalaus turinio teiginiai.
