Formali logika

Semantinis stalas

Nuo devintojo dešimtmečio kita metodika, leidžianti nustatyti argumentų pagrįstumą asmeniniame kompiuteryje ar LPC, įgijo tam tikrą populiarumą dėl lengvo mokymosi ir dėl nesudėtingo įdiegimo kompiuterinėmis programomis. Iš pradžių ją pasiūlė olandų logistas Evertas W. Bethas, tačiau ją išsamiau sukūrė ir paviešino amerikiečių matematikas ir logikas Raymond M. Smullyan. Remiantis pastebėjimu, kad pagrįstų argumentų teiginiai negali būti teisingi, o išvada klaidinga, šis metodas bando aiškinti (arba įvertinti) patalpas taip, kad jos visos būtų patenkintos tuo pačiu metu, ir paneigti teiginį. išvada taip pat patenkinta. Tokių pastangų sėkmė parodytų, kad argumentas yra neteisingas, o neradus tokio aiškinimo, jis būtų pagrįstas.

Semantinės lentelės konstravimas vyksta taip: išreikškite argumento išvados prielaidas ir paneigimą asmeniniame kompiuteryje, naudodamiesi tik neigimu (∼) ir disjunkcija (∨), kaip siūlomus jungiamuosius elementus. Pašalinkite visus du neigimo ženklus iš eilės (pvz., ∼∼∼∼∼a tampa ∼a). Dabar sukonstruokite medžio diagramą, nukreiptą žemyn taip, kad kiekviena disjunkcija būtų pakeista dviem šakomis: viena - kairiuoju disjunktu, kita - dešine. Originalus atsiribojimas yra teisingas, jei kuri nors šaka yra tiesa. Nuoroda į De Morgano įstatymus rodo, kad disjunkcijos neigimas yra teisingas tuo atveju, jei abiejų disjunkcijų neigimai yra teisingi [ty, ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Šis semantinis pastebėjimas lemia taisyklę, kad disjunkcijos neigimas tampa viena šaka, kurioje yra kiekvieno disjunkto neigimas:

Apsvarstykite šį argumentą:

Parašykite:

Dabar išbraukite disjunkciją ir suformuokite dvi atšakas:

Tik jei visi bent vienos šakos sakiniai yra teisingi, originalios prielaidos gali būti teisingos, o išvada klaidinga (lygiavertė išvados neigimui). Stebint liniją aukštyn kiekvienoje šakoje iki medžio viršaus, pastebima, kad neįvertinus kairiosios šakos a, visi tos šakos sakiniai gaus tikrąją reikšmę (dėl a ir ∼a buvimo).. Panašiai, esant dešinei šakai, b ir ∼b buvimas neleidžia įvertinti visų filialo sakinių, gavusių tikrąją reikšmę. Tai visos galimos šakos; taigi neįmanoma rasti situacijos, kurioje patalpos yra tikros, o išvados klaidingos. Taigi pirminis argumentas yra pagrįstas.

Šis metodas gali būti išplėstas, kad būtų galima naudoti ir kitus jungiamuosius elementus:

Be to, LPC turi būti įvestos kiekybiškai išreikštų pėdų greitinimo taisyklės. Akivaizdu, kad bet kuri šaka, kurioje yra ir (∀x) ϕx, ir ∼ϕy, yra tokia, kurioje ne visi tos šakos sakiniai gali būti patenkinti vienu metu (laikantis ω nuoseklumo prielaidos; žr. Metalogiką). Vėlgi, jei visos šakos negali būti tenkinamos vienu metu, galioja pirminis argumentas.

Specialios LPC sistemos

Kaip aukščiau paaiškinta, LPC gali būti keičiamas įvairiais būdais ribojant arba plečiant pleištų diapazoną:

• 1.Dalinės LPC sistemos. Čia aprašytos kelios svarbesnės sistemos, kurias sukuria apribojimai:

  • a.Gali būti reikalaujama, kad kiekvienas predikatinis kintamasis būtų monadinis, kartu leidžiant begaliniam skaičiui atskirų ir predikatinių kintamųjų. Tuomet atominės bangos yra tiesiog tokios, kurias sudaro predikatinis kintamasis, po kurio eina vienas atskiras kintamasis. Priešingu atveju formavimo taisyklės išlieka tokios pačios kaip anksčiau, o galiojimo apibrėžimas taip pat kaip ir anksčiau, nors akivaizdžiai supaprastintos. Ši sistema yra žinoma kaip monadinis LPC; ji pateikia savybių, bet ne santykių logiką. Viena svarbi šios sistemos savybė yra ta, kad ji yra nuspręsta. (Vis dėlto, įvedus net vieną dyadinį predikatinį kintamąjį, sistema būtų neįmanoma nuspręsti. Tiesą sakant, net ta sistema, kurioje yra tik vienas diaadikinis predikatinis kintamasis, o kiti predikatiniai kintamieji iš viso nebuvo nustatyta.)

  • b) Vis dar paprastesnę sistemą galima suformuoti reikalaujant (1), kad kiekvienas predikatinis kintamasis būtų monadinis, (2) kad būtų naudojamas tik vienas atskiras kintamasis (pvz., x), (3) kad kiekvienas šio kintamojo atvejis būtų susietas, ir (4) kad jokie kiti kiekybiniai rodikliai neatsirastų. Šios sistemos pėdsakų pavyzdžiai yra (∀x) [⊃x ⊃ (·x · χx)] („Kas yra, yra ir ψ, ir χ“); (∃x) (ϕx · ∼ψx) („Yra kažkas, kas yra ϕ, bet ne ψ“); ir (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) („Jei kas yra ϕ yra ψ, tada kažkas yra ir ϕ, ir ψ“). Šios sistemos žymėjimą galima supaprastinti praleidžiant x visur ir parašius ∃ϕ „Kažkas yra“, ∀ (ϕ ⊃ ψ) „Kas yra, kas yra ψ“ ir pan. Nors ši sistema yra labiau grubus nei monadinis LPC (kurio fragmentas jis yra), joje gali būti pavaizduotos įvairios išvados. Tai taip pat yra sistema, kurią galima nuspręsti, ir jai gali būti suteiktos pradinio pobūdžio procedūros.

• 2.Paplinkos išplėtimas. Sudėtingesnės sistemos, kuriomis galima išreikšti platesnį teiginių spektrą, buvo sukurtos pridedant prie LPC naujų įvairių rūšių simbolių. Paprasčiausias iš tokių papildymų yra:

  • a.Viena ar daugiau atskirų konstantų (tarkime, a, b,

    ): šios konstantos aiškinamos kaip konkrečių asmenų vardai; formaliai jie skiriasi nuo atskirų kintamųjų tuo, kad jie negali atsirasti kiekybiškai; pvz., (∀x) yra kiekybinis rodiklis, bet (∀a) nėra.

  • b.Viena ar daugiau predikatinių konstantų (tarkime, A, B,

    ), kiekvienas iš nurodytų laipsnių, manoma, kaip nurodantis specifines savybes ar ryšius.

Kitas galimas papildymas, kurį reikia šiek tiek išsamiau paaiškinti, susideda iš simbolių, skirtų funkcijoms palaikyti. Funkcijos sąvoka gali būti pakankamai paaiškinta šiais tikslais taip. Sakoma, kad yra tam tikra n argumentų (arba n laipsnio) funkcija, kai yra taisyklė, nurodanti unikalų objektą (vadinamą funkcijos verte), kai nurodomi visi argumentai. Pavyzdžiui, žmonių srityje „motina“ yra monadinė funkcija (vieno argumento funkcija), nes kiekvienas žmogus turi unikalų asmenį, kuris yra jo motina; ir natūraliųjų skaičių srityje (ty 0, 1, 2,

), „Ir - suma“ yra dviejų argumentų funkcija, nes kiekvienai natūraliųjų skaičių porai yra natūralusis skaičius, kuris yra jų suma. Funkcijos simbolis gali būti laikomas formuojančiu vardą iš kitų vardų (jo argumentai); taigi, kai x ir y įvardijami skaičiai, „x ir y suma“ taip pat įvardija skaičių, panašiai kaip ir kitos rūšies funkcijos bei argumentai.

Kad funkcijos būtų išreikštos LPC, jos gali būti pridėtos:

• c.Vienas ar daugiau funkcijų kintamųjų (tarkime, f, g,

  ) arba vieną ar daugiau funkcijų konstantų (tarkime, F, G,

  ) arba abu, kiekvienas iš nurodyto laipsnio. Pirmieji aiškinami kaip apibrėžtųjų laipsnių funkcijų diapazonai, o antrieji apibūdina konkrečias to laipsnio funkcijas.

Kai prie LPC pridedamas bet kuris arba visi –c, reikia modifikuoti formavimo taisykles, išvardytas pirmojo skyriaus apatiniame tariamojo skaičiavimo elemente (žr. Aukščiau apatinį tariamąjį skaičiavimo metodą), kad į naujus simbolius būtų galima įtraukti wff. Tai gali būti padaryta taip: terminas pirmiausia apibrėžiamas kaip (1) atskiras kintamasis arba (2) individuali konstanta arba (3) bet kokia išraiška, suformuota pridedant n laipsnio funkcijos kintamąjį ar funkcijos konstantą prie bet kurio n termino (šie terminai - funkcijos simbolio argumentai - paprastai atskiriami kableliais ir pridedami skliaustuose). 1 formavimo taisyklė pakeičiama taip:

• 1′.Ir išraiška, susidedanti iš n laipsnio predikato kintamojo arba predikatinės konstantos, po kurios eina n terminas, yra wff.

Skyriuje dėl LPC aksiomatizacijos pateiktą aksiomatinę bazę (žr. Aukščiau LPC aksiomatizaciją) taip pat reikia modifikuoti: 2-osios aksiomos schemoje bet kuriam terminui leidžiama pakeisti a, kai susidaro β, su sąlyga, kad joks kintamasis, laisvas terminas tampa surištas β. Šie pavyzdžiai iliustruoja minėtų LPC papildymų naudojimą: tegul atskirų kintamųjų reikšmės yra natūralieji skaičiai; tegul atskiros konstantos a ir b reiškia atitinkamai skaičius 2 ir 3; tegul reiškia „yra svarbiausias“; ir tegul F reiškia dimadinę funkciją „suma“. Tada AF (a, b) išreiškia teiginį „2 ir 3 suma yra pirminė“, o (∃x) AF (x, a) išreiškia teiginį: „Yra skaičius, kad jo ir 2 suma būtų pirminė.. “

Konstantų įvedimas paprastai pridedamas prie aksiomatinės bazės specialių aksiomų, turinčių tas konstantas, skirtas išreikšti principus, kurie palaiko objektus, savybes, ryšius ar jiems atstovaujamas funkcijas, nors jie neturi daiktų, savybių., santykiai ar funkcijos apskritai. Pvz., Gali būti nuspręsta naudoti konstantą A, kad būtų parodytas dyadinis santykis „didesnis nei“ (kad Axy reikštų „x yra didesnis nei y“ ir pan.). Šis santykis, skirtingai nei daugelis kitų, yra trumpalaikis; y., jei vienas objektas yra didesnis nei sekundė, o tas antrasis yra savo ruožtu didesnis už trečdalį, tada pirmasis yra didesnis už trečiąjį. Taigi, gali būti pridėta ši speciali aksiomų schema: jei t ₁, t ₂ ir t ₃ yra kokie nors terminai, tada (esant ₁ t ₂ · ₂ t ₃) ⊃ esant ₁ t ₃ yra aksioma. Tokiomis priemonėmis galima sukurti sistemas, išreiškiančias įvairių konkrečių disciplinų logines struktūras. Srityje, kurioje buvo atlikta dauguma tokio pobūdžio darbų, yra natūraliųjų skaičių aritmetika.

PC ir LPC kartais sujungiami į vieną sistemą. Tai gali būti padaryta paprasčiausiai pridedant prie kintamųjų kintamuosius prie LPC primityvų sąrašo, pridedant formavimo taisyklę, kad atskirai esantis pasiūlymo kintamasis yra wff, ir pašalindamas „LPC“ iš 1 aksiomos schemos. kaip (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx ir (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC su tapatybe. Žodis „yra“ ne visada vartojamas vienodai. Tokiame teiginyje kaip (1) „Sokratas yra užmaskuotas“, prieš „yra“ esantis posakis įvardija individą, o po jo esanti išraiška reiškia tam asmeniui priskirtą savybę. Tačiau tokiame teiginyje kaip (2) „Sokratas yra atėnų filosofas, kuris gėrė pergalę“, posakiai, einantys prieš ir po „yra“, yra abiejų vardų individai, o viso teiginio esmė yra ta, kad pirmasis įvardytas individas yra tas pats individas, kaip ir asmuo, pavadintas antruoju. Taigi 2-je „yra“ gali būti išplėstas į „yra tas pats asmuo, kaip ir“, o 1-je jis negali. Kaip naudojamas 2 punkte, „yra“ reiškia dvilypį ryšį, būtent tapatumą, kurį teiginys teigia palaikantis tarp dviejų asmenų. Tapatybės teiginys šiame kontekste turi būti suprantamas kaip teigiantis ne daugiau kaip tai; visų pirma nereikia manyti, kad abu pavadinimo posakiai turi tą pačią reikšmę. Daug aptartas pavyzdys, iliustruojantis šį paskutinį momentą, yra „Rytinė žvaigždė yra vakaro žvaigždė“. Netiesa, kad išsireiškimai „ryto žvaigždė“ ir „vakaro žvaigždė“ reiškia tą patį, tačiau tiesa, kad objektas, kurį minėjo pirmasis, yra tas pats, kurį nurodo pastarasis (planeta Venera).

Kad būtų galima išreikšti tapatybės teiginių formas, prie LPC pridedama dyadinė predikatinė konstanta, kuriai dažniausiai naudojamas žymėjimas = (rašomas tarp, o ne anksčiau, jo argumentų). Numatoma x = y interpretacija yra ta, kad x yra tas pats asmuo, kaip ir y, ir patogiausia skaityti: „x sutampa su y“. Jos neigimas ∼ (x = y) paprastai sutrumpinamas kaip x ≠ y. Prie anksčiau pateikto LPC modelio apibrėžimo (žr. Aukščiau galiojimą LPC) dabar pridedama taisyklė (kuri akivaizdžiai atitinka numatytą aiškinimą), kad x = y reikšmė turi būti 1, jei tas pats D yra priskiriami tiek x, tiek y, ir kitu atveju jo vertė turi būti 0; galiojimas gali būti apibrėžtas kaip anksčiau. Toliau pateikiami LPC aksiomatinio pagrindo papildymai (arba kai kurie lygiaverčiai): aksioma x = x ir aksiomų schema, kurioje a ir b yra kokie nors atskiri kintamieji, o α ir β yra kintamos, kurios skiriasi tik tuo, kad vienoje ar keliose vietose, kur α yra laisvas reiškinys a, β yra laisvas reiškinys b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) yra aksioma. Tokia sistema yra žinoma kaip mažesnio predikato-skaičiavimo-su tapatybe; tai, be abejo, gali būti dar labiau išplėsta kitais būdais, nurodytais aukščiau „LPC plėtiniai“, tokiu atveju bet kuris terminas gali būti =.

Tapatumas yra lygiavertiškumo santykis; y., ji yra refleksyvi, simetriška ir pereinanti. Jo refleksyvumas yra tiesiogiai išreiškiamas aksioma x = x, o simetriją ir pereinamumą išreiškiančias teoremas galima lengvai išvesti iš pateikto pagrindo.

Kai kurie LPC su tapatybe principai siūlo teiginius apie daiktų, turinčių tam tikrą savybę, skaičių. „Bent vienas dalykas yra ϕ“, žinoma, jau gali būti išreikštas ((x))x; „Mažiausiai du atskiri (neidentiški) dalykai yra ϕ“ dabar gali būti išreikšti (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); ir seka gali būti tęsiama akivaizdžiai. „Daugiausia vienas dalykas yra ϕ“ (ty, „nėra dviejų atskirų dalykų, kurie būtų abu“) gali būti išreikštas paneigiant paskutinįjį minėtą pff arba jo ekvivalentu, (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y], ir seką vėl galima lengvai tęsti. „Tiksliai vienas dalykas yra ϕ“ formulę galima gauti sujungus formules: „Bent vienas dalykas yra ϕ“ ir „Daugiausia vienas dalykas yra ϕ“, tačiau paprastesnė „wff“ atitiktis šiai jungčiai yra (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], kuris reiškia „yra kažkas, kas yra is, ir viskas, kas yra ϕ, yra tas dalykas“. Teiginys „Tiksliai du dalykai yra ϕ“ gali būti pavaizduotas (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; y., „Yra du neidentiški dalykai, kurių kiekvienas yra ϕ, ir viskas, kas yra ϕ, yra vienas arba kitas iš jų“. Aišku, šią seką taip pat galima išplėsti, kad būtų galima gauti formulę „Tiksliai n dalykų yra ϕ“ kiekvienam natūraliajam skaičiui n. Wff patogu sutrumpinti „Tiksliai vienas dalykas yra ϕ“ iki (∃! X) x. Šis specialusis kiekybinis rodiklis dažnai garsiai skaitomas kaip „E-Shriek x“.

Neapibrėžti aprašymai

Kai tam tikra savybė ϕ priklauso tik vienam objektui, patogu turėti išraišką, kuri tą objektą įvardija. Bendras žymėjimas šiuo tikslu yra (ιx) ϕx, kuris gali būti skaitomas kaip „daiktas, kuris yra ϕ“ arba trumpiau, kaip „the“. Apskritai, kai a yra bet kuris atskiras kintamasis, o α yra bet koks wff, (ιa) α tada reiškia vieną a reikšmę, kuri α daro teisinga. Formos „taip ir taip“ išraiška vadinama apibrėžtu aprašymu; ir (ιx), žinomas kaip aprašymo operatorius, gali būti suprantamas kaip suformuojantis asmens vardą iš pasiūlymo formos. (ιx) yra analogiškas kiekybiniam rodikliui tuo, kad kai priešdėlis prie wff α, jis suriša kiekvieną laisvą x atvejį α. Taip pat leidžiama pakartotinai surišti surištus kintamuosius; paprasčiausiu atveju (ιx) ϕx ir (ιy) ϕy gali būti skaitomi tiesiog kaip „the“.

Kalbant apie formavimo taisykles, apibrėžti aprašymai gali būti įtraukti į LPC, leidžiant formos (ιa) α išraiškas laikyti terminais; 1 taisyklė, esanti aukščiau skyriuje „LPC išplėtimai“, leis jiems įvykti atominėse formulėse (įskaitant tapatumo formules). „Φ yra (ty turi savybę) ψ“ tada gali būti išreikštas kaip ψ (ιx) ϕx; „Y yra (tas pats asmuo, kaip ir) the“, kaip y = (ιx) ϕx; „Φ yra (tas pats asmuo, kaip ir)„ ψ “kaip (ιx) ϕx = (ιy) ψy; ir taip toliau.

Teisinga pasiūlymų, kuriuose pateikiami aiškūs aprašymai, analizė sulaukė nemažų filosofinių ginčų. Vis dėlto vienas plačiai priimtas teiginys - iš esmės tas, kuris pateiktas Principia Mathematica ir žinomas kaip Russello aprašymo teorija - teigia, kad „The yra ψ“ turi būti suprantamas kaip reiškiantis, kad tiksliai vienas dalykas yra is, o tas pats yra ir ψ. Tokiu atveju tai gali būti išreikšta LPC su tapatybės ženklu, kuriame nėra aprašymo operatorių, būtent: (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Analogiškai „y yra ϕ“ yra analizuojamas kaip „y yra ϕ, o niekas kitas nėra ϕ“, taigi, kaip išraiška (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). „Φ yra ψ“ analizuojamas taip: „Tiksliai vienas dalykas yra ϕ, tiksliai vienas dalykas yra ψ, o kas yra ϕ yra ψ“, taigi jis yra išreikštas (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx ir (ιx) ϕx = (ιy) ψy gali būti laikomi atitinkamai (1), (2) ir (3) santrumpomis; ir apibendrinant sudėtingesnius atvejus, visi pjūviai, kuriuose yra aprašymo operatorių, gali būti laikomi ilgesnių pjūvių, kurių nėra, santrumpomis.

Atlikus analizę, kurios rezultatas (1) yra formulė „The ϕ is ψ“, formuluotė „The ϕ not ψ“ lemia taip: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Svarbu pažymėti, kad (4) nėra neigimas (1); vietoj to šis neigimas yra (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Skirtumas tarp (4) ir (5) reikšmės slypi tame, kad (4) yra tiesa tik tada, kai yra tiksliai vienas dalykas, kuris yra ϕ, o tas daiktas nėra ψ, tačiau (5) yra teisingi tiek šiuo atveju, tiek taip pat tada, kai nieko nėra ϕ ir kai yra daugiau nei vienas dalykas. Nepaisant skirtumo tarp 4 ir 5, gali kilti rimtų minčių painiavos; įprastoje kalboje dažnai neaišku, ar kas nors, neigiantis, kad ϕ yra ψ, sutinka, kad yra vienas dalykas, bet neigia, kad tai yra, ar neigia, kad būtent vienas dalykas yra exactly.

Pagrindinis Russello aprašymo teorijos teiginys yra tas, kad teiginys su apibrėžtu aprašymu neturi būti laikomas teiginiu apie objektą, kurio pavadinimas yra aprašymas, o veikiau kaip egzistenciškai kiekybiškai išreikštas teiginys, kad tam tikra (gana sudėtinga) savybė turi instancija. Formaliai tai atsispindi aprašymo operatorių pašalinimo taisyklėse, kurios buvo išdėstytos aukščiau.