Sturmo-Liouville'io problema arba savaiminio verčių problema matematikoje yra tam tikra dalinių diferencialinių lygčių (PDE) klasė, kuriai taikomi papildomi apribojimai, vadinami ribinėmis vertėmis. Tokios lygtys yra įprastos tiek klasikinėje fizikoje (pvz., Šilumos laidumas), tiek kvantinėje mechanikoje (pvz., Schrödingerio lygtyje), apibūdinančioms procesus, kai tam tikra išorinė vertė (ribinė vertė) laikoma pastovi, o dominančioji sistema perduoda tam tikros formos energiją.
1830 m. Viduryje prancūzų matematikai Charlesas-François Sturmas ir Josephas Liouville savarankiškai nagrinėjo šilumos laidumo per metalinį strypą problemą, kurdami metodus, kaip išspręsti didelę PDE klasę, kurių paprasčiausias pavidalas yra [p. (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0, kur y yra fizinis dydis (arba kvantinės mechaninės bangos funkcija), o λ yra parametras arba savaiminė vertė, ribojanti lygtį taip: kad y tenkina ribines vertes taško intervale, per kurį kintamasis kinta x. Jei funkcijos p, q ir r tenkina tinkamas sąlygas, lygtis turės sprendinių šeimą, vadinamą savifunkcijomis, atitinkančiomis savivarčių sprendinius.
Sudėtingesniam nehomogeniniam atvejui, kai aukščiau pateiktos lygties dešinioji pusė yra funkcija, f (x), o ne lygi nuliui, atitinkamos vienalytės lygties savąsias vertes galima palyginti su pirminės lygties savivaliomis vertėmis. Jei šios vertės skiriasi, problema turės unikalų sprendimą. Kita vertus, jei sutampa viena iš šių savybių, uždavinys neturės nei sprendimo, nei visos grupės sprendimų, priklausomai nuo funkcijos f (x) savybių.
