Analizės istorija
Graikai susiduria su nuolatiniais dydžiais
Analizę sudaro tos matematikos dalys, kuriose svarbu nuolatiniai pokyčiai. Tai apima lygių kreivių ir paviršių judesio ir geometrijos tyrimą, visų pirma liečiamųjų, plotų ir tūrių apskaičiavimą. Senovės Graikijos matematikai padarė didelę pažangą analizės teorijoje ir praktikoje. Teorija jiems buvo priversta apie 500 žingsnių pitagoriečių atrastas neracionalus didumas ir maždaug 450 žingsnių Zeno judesio paradoksai.
Pitagoriečiai ir neracionalūs skaičiai
Iš pradžių pitagoriečiai tikėjo, kad viską galima išmatuoti diskrečiaisiais natūraliaisiais skaičiais (1, 2, 3,
) ir jų santykiai (paprastosios trupmenos arba racionalieji skaičiai). Tačiau šį įsitikinimą sukrėtė atradimas, kad kvadrato vieneto (tai yra kvadrato, kurio kraštinės ilgis yra 1) įstrižainė negali būti išreikšta racionaliu skaičiumi. Šį atradimą lėmė jų pačių Pitagoro teorema, kuri nustatė, kad stačiakampio trikampio hipotenuzėje esantis kvadratas yra lygus kitose dviejose pusėse esančių kvadratų sumai - šiuolaikiškai žymint, c 2 = a 2 + b 2. Vieneto kvadrate įstrižainė yra stačiakampio trikampio hipotenuzė, kurios kraštinės a = b = 1; taigi, jos matas yra√2 kvadratinė šaknis - neracionalus skaičius. Pitagoriečiai, prieš savo pačių ketinimus, parodė, kad racionalių skaičių nepakako net paprastiems geometriniams objektams išmatuoti. (Žr. Šoninę juostą: Neįmanomi dalykai.) Jų reakcija buvo sukurti linijų segmentų aritmetiką, kaip nustatyta Euklido elementų II knygoje (apie 300 bce), į kurią įeina racionaliųjų skaičių geometrinis aiškinimas. Graikams linijų segmentai buvo bendresni nei skaičiai, nes jie apėmė nepertraukiamąjį ir diskretinį dydį.
Iš tikrųjų,√2 kvadratinė šaknis gali būti susieta su racionaliaisiais skaičiais tik begalinio proceso metu. Tai suprato Euklidas, kuris ištyrė tiek racionaliųjų skaičių, tiek linijų segmentų aritmetiką. Jo garsusis Euklido algoritmas, pritaikytas natūraliųjų skaičių porai, per daugybę žingsnių veda prie didžiausio bendro daliklio. Tačiau, pritaikius tiesių segmentų, turinčių neracionalų santykį, pavyzdžiui,√2 ir 1, kvadrato šaknis, porai, jis nesibaigia. Euklidas netgi panaudojo šią neapibrėžtą savybę kaip iracionalumo kriterijų. Taigi neracionalumas užginčijo graikų skaičiaus sampratą, priversdamas juos susitvarkyti su begaliniais procesais.
Zeno paradoksai ir judesio samprata
Tiesiog, kaip kvadratinė√2 šaknis buvo iššūkis graikų skaičiaus sampratai, Zeno paradoksai buvo iššūkis jų judesio sampratai. Aristotelis savo fizikoje (apie 350 bc) cituoja Zeno:
Jokio judesio nėra, nes tai, kas judama, turi atvykti į kurso vidurį, kol jis nepasieks.
Zeno argumentai yra žinomi tik per Aristotelį, kuris cituoja juos, kad juos paneigtų. Manoma, kad „Zeno“ turėjo omenyje, kad norint patekti į bet kurią vietą, pirmiausia reikia pereiti pusę kelio ir prieš tai ketvirtadaliu kelio ir prieš tą aštuntąją kelio dalį ir panašiai. Kadangi šis atstumų sumažinimo procesas pereis į begalybę (sąvokos, kurios graikai nepriimtų kaip įmanoma), Zeno teigė „įrodęs“, kad tikrovė susideda iš besikeičiančios būties. Vis dėlto, nepaisydami begalybės, graikai nustatė, kad ši sąvoka yra būtina matematikoje ištisinių dydžių atžvilgiu. Taigi jie samprotavo apie begalybę kiek įmanoma labiau, logiškai remdamiesi proporcijų teorija ir naudodami išsekimo metodą.
Proporcijų teoriją sukūrė Eudoxus apie 350 bce ir išsaugojo Euklido elementų V knygoje. Jis nustatė tikslų ryšį tarp racionalaus ir savavališko didumo, apibrėždamas du dydžius kaip lygius, jei mažesni nei jie racionalūs dydžiai būtų vienodi. Kitaip tariant, du dydžiai buvo skirtingi tik tuo atveju, jei tarp jų buvo racionalus dydis. Šis apibrėžimas tarnavo matematikams du tūkstantmečius ir sudarė kelią analizės aritmetinimui XIX amžiuje, kai savavališki skaičiai buvo griežtai apibrėžti pagal racionaliuosius skaičius. Proporcijų teorija buvo pirmasis griežtas ribų sampratos traktavimas, idėja, kuri yra šiuolaikinės analizės pagrindas. Šiuolaikiškai Eudoxus teorija apibrėžė savavališkus dydžius kaip racionalaus didumo ribas, o pagrindinės teoremos apie sumą, skirtumą ir dydžių sandaugą buvo lygiavertės teoremoms apie sumų, skirtumų ir ribų sandaugą.
