Tęstinės hipotezės matematika

Tęstinė hipotezė, aibės teorijos teiginys, kad realiųjų skaičių aibė (kontinuumas) tam tikra prasme yra kiek įmanoma mažesnė. 1873 m. Vokiečių matematikas Georgas Cantorius įrodė, kad kontinuumas yra nesuskaičiuojamas - tai yra, realieji skaičiai yra didesnė begalybė nei skaičiavimo skaičiai. Tai yra pagrindinis rezultatas pradedant rinkinio teoriją kaip matematikos dalyką. Be to, „Cantor“ sukūrė būdą klasifikuoti begalinius rinkinius pagal jo elementų skaičių arba kardinalumą. (Žr. Nustatytą teoriją: kardinalumas ir neriboti skaičiai.) Tokiu būdu kontinuumo hipotezę galima teigti taip: kontinuumo kardinalumas yra mažiausias neskaičiuojamas kardinalusis skaičius.

rinkinio teorija: kardinalumas ir neriboti skaičiai

spėlionė, vadinama tęstine hipoteze.

^{Cantoro žymėjime ištisinę} hipotezę galima teigti paprasta 2 ^lygtimi = _⁰ = ℵ ₁, kur ℵ ₀ yra begalinės skaičiuojamos aibės (pvz., Natūraliųjų skaičių aibės) kardinalus skaičius, o didesnių „ gerai užsakomi rinkiniai “yra ℵ ₁, ℵ ₂,

, ℵ _α,

, indeksuojami eilės skaičiais. ^Tęstinumo kardinalumas gali būti įrodytas lygus 2 ^{ℵ ₀}; Taigi kontinuumo hipotezė atmeta tarpinių dydžių tarp natūraliųjų skaičių ir kontinuumo egzistavimą.

Tvirtesnis teiginys yra apibendrinta tęstinumo hipotezė (GCH): 2 ^{ℵ _α} = ℵ _{α + 1} kiekvienam eilės skaičiui α. Lenkų matematikas Wacławas Sierpińskis įrodė, kad su GCH galima išgauti pasirinktą aksiomą.

Kaip ir pasirinkta aksioma, austrų kilmės amerikiečių matematikas Kurtas Gödelis 1939 m. Įrodė, kad jei kitos standartinės Zermelo-Fraenkel aksiomos (ZF; žr.

lentelė) yra nuoseklūs, tada jie nepaneigia tęstinės hipotezės ar net GCH. T. y., Pridedant GCH prie kitų aksiomų, rezultatas išlieka pastovus. Tada 1963 m. Amerikiečių matematikas Paulas Cohenas baigė vaizdą, dar kartą darydamas prielaidą, kad ZF yra nuoseklus, parodydamas, kad ZF nerodo tęstinės hipotezės įrodymų.

Kadangi ZF nei įrodo, nei paneigia tęstinumo hipotezės, lieka klausimas, ar sutikti su tęstinumo hipoteze, paremta neoficialia koncepcija, kas yra rinkiniai. Bendras atsakymas matematinėje bendruomenėje buvo neigiamas: ištisinė hipotezė yra ribojantis teiginys, kai nėra žinomos priežasties nustatyti ribą. Be teorijos, maitinimo-rinkinys operacija priskiria kiekvienam galingumo ℵ rinkinys _alfa savo rinkinį visų pogrupių, kuris turi kardinalumas 2 ^{ℵ _alfa}. Atrodo, nėra jokios priežasties nustatyti pogrupių įvairovę, kurią gali turėti begalinis rinkinys.